Trong mặt phẳng (α), cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R. S là điểm trên đường thẳng vuông góc với (α) tại A cố định cách O một đoạn 2R, M là điểm di động trên (C), M' là trung điểm của AM, N là trung điểm của SM và SA = 2R. Tập hợp những điểm N khi M di động trên (C) là đường tròn:

Cho mặt cầu S(O; R), mặt phẳng (α) có khoảng cách đến O bằng . Gọi (C) là giao tuyến của (O) và (α). Một điểm M di động trên (C). Đường thẳng d vuông góc với (α) tại M cắt S(O; R) tại M'. Thể tích của khối do đoạn thẳng MM' sinh ra bằng:

Cho đường tròn (C) đường kính cố định AB nằm trong mặt phẳng (P). Δ là đường thẳng vuông góc với (P) tại A. Trên Δ lấy điểm S với AS = h (hằng số). M là điểm di động trên (C). Gọi I là trung điểm của SM. Hình chiếu của I lên (P) là I'. Thể tích của phần không gian giới hạn bởi hình do đoạn thẳng II' sinh ra bằng:

Cho hình nón (N) đỉnh S, đáy là đường tròn (C) tâm O bán kính R có thiết diện qua trục là hình tam giác vuông cân. M là điểm di động trên (C). Hình chiếu của O lên SM là I. Hình chiếu của I lên OM là J. Hình chiếu của I lên SO là K. (α) là mặt phẳng vuông góc với OK tại K. Thể tích của hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm K, bán kính là:

Tính bán kính R của mặt cầu đi qua bốn đỉnh của một tứ diện đều có cạnh a.

Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O; R) kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu tại A, B và C, D. Cho MO = d. Tính MA.MB theo R và d.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB = AD = a, CD = 2a, chiều cao SD = a. Gọi E là trung điểm của CD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD.

Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có chín cạnh đều bằng a.

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Một hình nón có bán kính đáy là r và góc ở đỉnh bằng 120⁰. Tính thể tích của khối nón.