Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đáy đều bằng a, góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy là và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A'B'C') trùng với trung điểm của cạnh B'C'. Tính thể tích V của khối lăng trụ.

Cho tứ diện SABC có . Tính độ dài đoạn AB.

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm của AH. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt AI = x, a < x < 2a. Gọi là mặt phẳng qua I và vuông góc với đường thẳng OH. Với giá trị nào của x thì diện tích thiết diện của với tứ diện SABC là lớn nhất.

Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a có tâm là O. Trên các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) ta lần lượt lấy hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y. Giả sử M, N thay đổi sao cho tam giác OMN vuông tại O. Tính thể tích V của tứ diện BDMN.

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với (ABCD) và . Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Gọi M là trung điểm của AB, là mặt phẳng qua M và vuông góc với SB. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp.

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, các cạnh bên đều bằng . Gọi là góc giữa AB và (P) với (P) là mặt phẳng qua A, vuông góc với SC. Tính

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O bán kính R. Gọi BC là đường kính thay đổi và A là điểm cố định trên đường tròn với . Trên đường vuông góc với (P) tại A ta lấy SA = 2R. Vẽ . Gọi là góc nhị diện bởi (SBC) và (P). Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính thể tích V của tứ diện ACA'B' biết tam giác ABC là tam giác đều cạnh bang a, AA' = b và AA' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng .

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường chéo A'C' của hình vuông A'B'C'D'. Tính diện tích S thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P).

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ACBD tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của đoạn AB. Tính khoảng cách d từ điểm I đến đường thẳng CM.