Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 2. Gọi M, N là trung điểm AB và DD'. Tính MN?

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥(ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Trên các cạnh BC, CD lấy lần lượt các điểm M, N. Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a). Tìm hệ thức giữa x và y để (SAM) ⊥ (SMN).

Cho tứ diện SABC có đáy là DABC vuông cân tại B, AB = a, SA ⊥(ABC) và . Gọi D là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ D đến (SBC)

Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.

Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a. Gọi O là trung điểm AH. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O, lấy điểm S sao cho OS = 2a. Tính cosin của góc φ tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)?

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 60^o. Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Hãy tính độ dài cạnh AA/ theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ∠ACB = 60^o , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45^o. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60^o. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC