Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao h. Tính bán kính r hình cầu nội tiếp trong hình chóp.

Cho hình nón tròn xoay có đường cao h và có bán kính đáy bằng R. Tính bán kính R' của hình cầu ngoại tiếp hình nón (mặt cầu này chứa đỉnh và đường tròn đáy của hình nón).

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có 9 cạnh đều bằng a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên SA = SB = SC = a và có các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α. Gọi hình nón tròn xoay đỉnh S có đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Diện tích xung quanh S của hình nón nói trên được tính theo a và α là:

Cho hình nón (N) có bán kính đáy R và có đường cao SO. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với đường cao SO tại O₁, biết rằng . Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón (N) nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc. Tính thể tích V phần hình nón (N) nằm giữa mặt phẳng (P) và đáy hình nón (N).

Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO với O là tâm của đường tròn đáy. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a, biết rằng . Tính diện tích xung quanh S của hình nón.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và có đường cao h. Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của các tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng IA' cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đaọn thẳng. Tính độ dài d của đoạn thẳng đó.

Cho mặt cầu tâm O bán kính R và ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu đó với BC = a, CA = b, AB = c. Tính khoảng cách d từ tâm O của mặt cầu đến mặt phẳng (ABC) với S được tính bằng công thức

Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình hộp chữ nhật. Hệ thức liên hệ giữa bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đó với các kích thước AB = a, BC = b, AA' = c của hình hộp đã cho.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh A, B, C, D nằm trên đường tròn đáy tâm O và các đỉnh A', B', C', D' nằm trên đường tròn đáy tâm O' của một hình trụ tròn xoay. Góc giữa đường thẳng B'D và mặt phẳng (ABB'A') bằng 30⁰. Khoảng cách từ trục OO' của hình trụ đến mặt phẳng (ABB'A') bằng . Tính thể tích V của hình hộp và thể tích V' hình trụ, biết rằng đường kính đáy của hình trụ bằng 5a.