Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = b, . Các cạnh bên của khối chóp đều tạo với mặt phẳng đáy một góc β. SH là đường cao của khối chóp. Tìm vị trí của H đối với tam giác ABC.

Cho khối chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giac cân có AB = AC = 3a, BC = 2a. Biết rằng các mặt bên của khối chóp đều hợp với mặt phẳng đáy một góc 60⁰. Kẻ đường cao SH của khối chóp. Tính thể tích của khối chóp.

Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân với AB = BC = a. Gọi B' là trung điểm của SB. Một mặt phẳng qua AB' và vuông góc với SC tại C'. Tính thể tích khối tứ diện SAB'C'.

Cho đường tròn (C) đường kính cố định AB nằm trong mặt phẳng (P). Δ là đường thẳng vuông góc với (P) tại A. Trên Δ lấy điểm S với AS = h (hằng số). M là điểm di động trên (C). Gọi I là trung điểm của SM. Hình chiếu của I lên (P) là I'. Diện tích xung quanh của hình do đoạn thẳng II' sinh ra bằng:

Cho hình trụ đáy là đường tròn (O; R) và đường cao OO' = h. Trên (O; R) lấy điểm A, trên (O'; R) lấy điểm A' sao cho góc của AA' và OO' bằng 30⁰. Gọi A₁ là hình chiếu của A' lên mặt phẳng chứa (O; R). Gọi I là trung điểm của A₁A. Khoảng cách giữa AA' và OO' bằng:

Cho hình nón (N) đỉnh S, đáy là đường tròn (C) tâm O bán kính R có thiết diện qua trục là hình tam giác vuông cân. M là điểm di động trên (C). Hình chiếu của O lên SM là I. Hình chiếu của I lên OM là J. Hình chiếu của I lên SO là K. (α) là mặt phẳng vuông góc với OK tại K. Độ dài của đoạn IJ bằng:

Cho mặt cầu S(O; R), mặt phẳng (α) có khoảng cách đến O bằng . Gọi (C) là giao tuyến của (O) và (α). Một điểm M di động trên (C). Đường thẳng d vuông góc với (α) tại M cắt S(O; R) tại M'. Độ dài đoạn MM' bằng:

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (α) có khoảng cách đến O bằng . Một điểm M thuộc giao tuyến của S(O; R) và (α). Đường thẳng vuông góc với (α) tại O cắt mặt cầu tại I với khoảng cách từ I đến (α) lớn hơn R. Diện tích của mặt do IM sinh ra bằng:

Cho đường tròn (O) tâm O bán kính R và điêm I cố định cách O một đoạn 2R. Qua I vẽ tiếp tuyến IM với (O) tiếp điểm là M. Cho tam giác OMI quay quanh đường thẳng OI. Gọi H là hình chiếu của M lên OI. Thể tích do tam giác OMI sinh ra khi quay quanh OI bằng:

Cho tam giác đều ABC có (I) là đường tròn nội tiếp và có cạnh bằng 2a. Khi tam giác ABC quay quanh một đường cao của nó thì hiệu số thể tích của khối do tam giác sinh ra và của khối do đường tròn sinh ra bằng: