Cho một tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với ba đường thẳng AB, AC, AD lần lượt tại B, C và D. Tính bán kính R của mặt cầu (S).

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . Một mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh SB và SC tại trung điểm của mỗi cạnh đó. Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính AD.

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao . Tính diện tích toàn phần S của hình trụ.

Trên hai đáy của hình trụ có đường cao gấp đôi bán kính đáy, ta lấy hai bán kính chéo nhau, đồng thời tạo với nhau một góc là . Biết rằng đoạn thẳng nối hai đầu mút của hai bán kính không đi qua tâm đường tròn có độ dài là a. Tính tan của góc hơp trục và đoạn thẳng qua 2 mút đó.

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và . Tính thể tích V của hình nón.

Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng R, đường cao SO. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với SO tại O' cắt (N) theo đường tròn có bán kính R'. Mặt phẳng (Q) thay đổi, vuông góc với SO tại điểm ( nằm giữa O và O') cắt hình tròn theo thiết diện là hình tròn có bán kính x. Hãy tính x theo R và R để (Q) chia phần hình nón nằm giữa (P) và đáy hình nón thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Cho góc vuông xOy và hai điểm M, N lần lượt di động trên Ox và Oy sao cho MN = 2a không đổi. Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm các đoạn OM, MN, ON. Đặt OA = x (0 < x < 2a). Hai cạnh MN, MO của tam giác MON và các đoạn CB, BA, AO quay quanh NO sinh ra một hình nón và một hình trụ nội tiếp hình nón có chung trục NO. Xác định OM để tỉ số diện tích đạt giá trị nhỏ nhất với là diện tích xung quanh của hình nón và là diện tích toàn phần của hình trụ.

Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ. Độ dài cạnh hình vuông ABCD là:

Ba cạnh của tam giác ABC có độ dài 13, 14 và 15. Một mặt cầu có bán kính R tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tìm khoảng cách d từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng của tam giác.

Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, DC = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.